Probablemente,
Eratóstenes trazó un dibujo a escala del experimento y, sobre el papel, midió
con utensilios básicos el ángulo β , averiguando la porción de circunferencia
correspondiente al ángulo, y que algunos historiadores cifran en 1/50. Hoy sabemos que, por trigonometría, podemos hallar
las medidas de los ángulos y lados de un triángulo rectángulo conociendo
algunos datos. En el caso que nos ocupa utilizaremos la fórmula de la tangente
que es la que relaciona el ángulo con los catetos, cuyas medidas conocemos ya
que corresponden a la longitud del poste y a la de la sombra proyectada, tg(x)=
a/b, siendo a el cateto opuesto al ángulo y b, el adyacente.
Siguiendo con los datos
extraídos de la anteriormente referida simulación, correspondiente al Proyecto Celestia, los datos serían:
Tg(β)= 0,5053m./ 4m.= 0,126325.
Para hallar la medida
del ángulo a partir del valor de la tangente necesitamos la función
arcotangente (arctg), -que es la inversa de la tangente y que por tanto, nos da
la medida del ángulo buscado- y una calculadora científica, ya que están
implicados algunos cálculos complejos:
El
resultado, redondeando, es de 7,2º, el mismo que obtuvo Eratóstenes. Según
puede verse en el siguiente gráfico, este ángulo, que corresponde a la
inclinación de los rayos solares con respecto al cenit de Alejandría, sería
igual al arco de circunferencia formado por la curvatura de la superficie
terrestre entre las dos ciudades. Es el caso de dos rectas paralelas (los rayos
de sol incidiendo sobre Alejandría y Asuán) cortadas por una secante (la línea
imaginaria que uniría el cénit de Alejandría con el centro de la Tierra). En dicho caso los
ángulos β (4 y 6 de los ocho que se formarían) son congruentes, es decir,
de la misma medida aunque con distinta orientación.
Así
pues, ya tenemos la distancia angular entre Alejandría y Asuán. Como la
circunferencia ideal (no así la de la
Tierra, que es un geoide) tiene 360º, no hay más que
extrapolar la distancia lineal entra ambas ciudades, mediante una sencilla
regla de tres para poder hallar la longitud –aproximada- de la esfera terrestre.
Los ocho ángulos formados por una secante que atraviesa dos paralelas. El 4 y el 6, que semejan el ángulo β del gráfico del experimento, son congruentes. |
Lo
que no era sencillo, sin embargo, en el
siglo III antes de Cristo era medir con precisión la distancia entre dos puntos
de la superficie terrestre. Las mediciones eran intuitivas –días, jornadas a
caballo o a pie, etc…- Tampoco había un canon universal homologado para las
medidas, con lo que cada cultura usaba las suyas.
Eratóstenes
necesitaba conocer esta magnitud con cierta precisión. Quizá imaginó a un
hombre o varios hombres que hicieran el viaje a pie contando metódicamente sus
pasos. Quizá pagó a los jefes de caravanas comerciales, buenos conocedores de
la ruta, para medir dicha distancia, calculándolas en función de lo que
tardaban sus cabalgaduras o sus carros. Quizá mandó a los esclavos contar las
vueltas que daban las ruedas de los carros en cada viaje o con largas cuerdas
tomar medidas de cada etapa del camino. Quizá imaginó disciplinados batallones
de soldados de élite que desfilaran con paso uniforme entre ambas ciudades. Hoy
sabemos que la distancia exacta entre Alejandría y Asuán es de 729 Km. El cálculo de
Eratóstenes fue de 5000 estadios. Y he aquí una de las principales controversias.
El estadio ático italiano equivalia a 184,8 m. Con esta unidad Eratóstenes habría
errado en casi doscientos kilómetros por exceso en la medición itineraria. Pero
algunos defienden que usó el estadio egipcio, equivalente a 157,20 metros. Esto
arrojaría una medida de 786
km de distancia entre su ciudad y Asuán. No es exacto,
pero sí mucho más aproximado.
Por
último, su dictamen sobre la longitud de la circunferencia terrestre. Si a un
arco de 7,2º correspondía una distancia lineal de 786 km, a una circunferencia
de 360º:
C=
360x786/7.2; C= 39300 Km.
Una
medida muy cercana a la real, que es de 40000 km aproximadamente.
No está nada mal para los medios con los que contaba. Y teniendo en cuenta un
detalle que aún no hemos mencionado. Aunque Asuán está al sur de Alejandría y
casi en línea recta, en realidad no se halla en el mismo meridiano, existiendo
una diferencia de 3º de longitud, hecho este que no se tuvo en cuenta o se
despreció por parecer poco relevante.
Así
pues, allá por el año 236 a
C ya se tenía una noción bastante aproximada del tamaño y forma de la Tierra. No obstante, algunos
sabios posteriores hicieron interpretaciones erróneas de este experimento y
llegaron a conclusiones igualmente erróneas que hicieron pensar a algunos que la Tierra era más pequeña de
lo que es en realidad. Como le pasó a Cristóbal Colón, que se guió por los
cálculos revisados de Posidonio. Pero esto, probablemente, fue una suerte
porque, de lo contrario, quizá nunca hubiera realizado su viaje…
Referencias:
Proyecto Celestia
Erastótenes en Wikipedia
Trigonometría (Vitutor)
Agrupación Astronómica Magallanes
Referencias:
Proyecto Celestia
Erastótenes en Wikipedia
Trigonometría (Vitutor)
Agrupación Astronómica Magallanes
¡Que profusión de datos!, tengo que volver a leerlo, es interesante. Gnial. Desde El Fuerte
ResponderEliminarMuchas gracias por tus entusiastas palabras. Me alegro de que te parezca interesante. Para mí, como digo en el artículo, este experimento representa uno de los momentos más brillantes del pensamiento humano. Saluditos.
Eliminar