miércoles, 22 de enero de 2014

El experimento de Eratóstenes (y II)


Leer la primera parte


Probablemente, Eratóstenes trazó un dibujo a escala del experimento y, sobre el papel, midió con utensilios básicos el ángulo β , averiguando la porción de circunferencia correspondiente al ángulo, y que algunos historiadores cifran en 1/50. Hoy sabemos que, por trigonometría, podemos hallar las medidas de los ángulos y lados de un triángulo rectángulo conociendo algunos datos. En el caso que nos ocupa utilizaremos la fórmula de la tangente que es la que relaciona el ángulo con los catetos, cuyas medidas conocemos ya que corresponden a la longitud del poste y a la de la sombra proyectada, tg(x)= a/b, siendo a el cateto opuesto al ángulo y b, el adyacente.
Siguiendo con los datos extraídos de la anteriormente referida simulación, correspondiente al  Proyecto Celestia, los datos serían:

Tg(β)= 0,5053m./ 4m.= 0,126325.

Para hallar la medida del ángulo a partir del valor de la tangente necesitamos la función arcotangente (arctg), -que es la inversa de la tangente y que por tanto, nos da la medida del ángulo buscado- y una calculadora científica, ya que están implicados algunos cálculos complejos:
escribimos el valor obtenido para la tangente y marcamos la casilla Inv (número inverso) y pulsamos la tecla tan, con lo que obtendremos el valor inverso de la tangente, es decir, el arcotangente, que equivale al ángulo buscado.

El resultado, redondeando, es de 7,2º, el mismo que obtuvo Eratóstenes. Según puede verse en el siguiente gráfico, este ángulo, que corresponde a la inclinación de los rayos solares con respecto al cenit de Alejandría, sería igual al arco de circunferencia formado por la curvatura de la superficie terrestre entre las dos ciudades. Es el caso de dos rectas paralelas (los rayos de sol incidiendo sobre Alejandría y Asuán) cortadas por una secante (la línea imaginaria que uniría el cénit de Alejandría con el centro de la Tierra). En dicho caso los ángulos  β (4 y 6 de los ocho que se formarían) son congruentes, es decir, de la misma medida aunque con distinta orientación.
Así pues, ya tenemos la distancia angular entre Alejandría y Asuán. Como la circunferencia ideal (no así la de la Tierra, que es un geoide) tiene 360º, no hay más que extrapolar la distancia lineal entra ambas ciudades, mediante una sencilla regla de tres para poder hallar la longitud –aproximada-  de la esfera terrestre. 
Los ocho ángulos formados por una secante que atraviesa dos paralelas. El 4 y el 6, que semejan el ángulo β del gráfico del experimento, son congruentes.

Lo que no era sencillo, sin embargo,  en el siglo III antes de Cristo era medir con precisión la distancia entre dos puntos de la superficie terrestre. Las mediciones eran intuitivas –días, jornadas a caballo o a pie, etc…- Tampoco había un canon universal homologado para las medidas, con lo que cada cultura usaba las suyas.
Eratóstenes necesitaba conocer esta magnitud con cierta precisión. Quizá imaginó a un hombre o varios hombres que hicieran el viaje a pie contando metódicamente sus pasos. Quizá pagó a los jefes de caravanas comerciales, buenos conocedores de la ruta, para medir dicha distancia, calculándolas en función de lo que tardaban sus cabalgaduras o sus carros. Quizá mandó a los esclavos contar las vueltas que daban las ruedas de los carros en cada viaje o con largas cuerdas tomar medidas de cada etapa del camino. Quizá imaginó disciplinados batallones de soldados de élite que desfilaran con paso uniforme entre ambas ciudades. Hoy sabemos que la distancia exacta entre Alejandría y Asuán es de 729 Km. El cálculo de Eratóstenes fue de 5000 estadios. Y he aquí una de las principales controversias. El estadio ático italiano equivalia a 184,8 m. Con esta unidad Eratóstenes habría errado en casi doscientos kilómetros por exceso en la medición itineraria. Pero algunos defienden que usó el estadio egipcio, equivalente a 157,20 metros. Esto arrojaría una medida de 786 km de distancia entre su ciudad y Asuán. No es exacto, pero sí mucho más aproximado.
Por último, su dictamen sobre la longitud de la circunferencia terrestre. Si a un arco de 7,2º correspondía una distancia lineal de 786 km, a una circunferencia de 360º:

C= 360x786/7.2; C= 39300 Km.

Una medida muy cercana a la real, que es de 40000 km aproximadamente. No está nada mal para los medios con los que contaba. Y teniendo en cuenta un detalle que aún no hemos mencionado. Aunque Asuán está al sur de Alejandría y casi en línea recta, en realidad no se halla en el mismo meridiano, existiendo una diferencia de 3º de longitud, hecho este que no se tuvo en cuenta o se despreció por parecer poco relevante.

Así pues, allá por el año 236 a C ya se tenía una noción bastante aproximada del tamaño y forma de la Tierra. No obstante, algunos sabios posteriores hicieron interpretaciones erróneas de este experimento y llegaron a conclusiones igualmente erróneas que hicieron pensar a algunos que la Tierra era más pequeña de lo que es en realidad. Como le pasó a Cristóbal Colón, que se guió por los cálculos revisados de Posidonio. Pero esto, probablemente, fue una suerte porque, de lo contrario, quizá nunca hubiera realizado su viaje…

Referencias:
Proyecto Celestia
Erastótenes en Wikipedia
Trigonometría (Vitutor)
Agrupación Astronómica Magallanes

2 comentarios:

  1. ¡Que profusión de datos!, tengo que volver a leerlo, es interesante. Gnial. Desde El Fuerte

    ResponderEliminar
    Respuestas
    1. Muchas gracias por tus entusiastas palabras. Me alegro de que te parezca interesante. Para mí, como digo en el artículo, este experimento representa uno de los momentos más brillantes del pensamiento humano. Saluditos.

      Eliminar